Claude Shannon 於 Information Theory 研究中提出熵(entropy)的概念，可以說是影響後續機器學習(machine learning)發展相當重要的概念。
熵看似難以理解，但其實是 1 個很簡單的概念，只要了解其背後的意義就能夠輕鬆上手。
熵（音同商），簡而言之，用以衡量一組資料的不確定性(uncertainty)。
假設有 1 枚硬幣 2 面都是人頭，那麼不管如何投擲，我們都能夠確定它的結果是人頭，因此毫無不確定性可言，那麼熵值就會是 0 。
假設有 1 枚硬幣 正面人頭，背面為字，那麼我們有 50% 的機率猜中其投擲結果，因此該情況下具有不確定性，其熵值為 1 。
假設有 2 枚硬幣，那麼我們約有 33% 的機率猜中其投擲結果（正正、反反、正反），該情況的不確定性相對於只有 1 枚硬幣而言更高，其熵值約為 1.58 。
可以看到隨著不確定性增加，熵值也會增加。
不確定性也可能會造成混亂的局面，不確定性越高代表越難預測結果，因此結果越混亂，所以我們也能夠透過熵值衡量資料分散、混亂的情況。例如，100 個從 0 到 1000 的隨機整數資料集與 100 個從 0 到 3 的隨機整數資料集相比， 100 個從 0 到 1000 的隨機整數資料集的熵值會相對較高，其原因在於該資料集的每 1 筆資料有 1000 種可能，導致該資料集最多有 100 種不同的值，而另一資料集中最多也只有 3 種不同的值，不論數值的分佈、混亂程度都遠遠不及 100 個從 0 到 1000 的隨機整數資料集（而且審視該 2 個資料集時，也能夠明顯感覺到其中 1 個較為混亂）。
了解熵的意義之後，對於熵的公式就會較有感覺：
P(x) 代表 x 出現的機率，例如 1 組數據 [1, 2, 2, 3, 3, 4] ，其中數字 1, 4 只出現 1 次，其機率皆為 1/6 , 而數字 2, 3 都出現 2 次，其機率皆為 2/6 。
P(1) = 1/6
P(4) = 1/6
P(2) = 2/6
P(3) = 2/6
因此前述數據組的熵值為：
-(1/6 * log2(1/6)) -(2/6 * log2(2/6)) -(2/6 * log2(2/6)) -(1/6 * log2(1/6))
= 1.9182958340544896
而 Entropy 的關鍵部分在於 P(x) * log(P(x)) 的數學意義：某資料出現的機率越低，在 log 的加成下該數值會提高，該數值可以代表人們看到這個資料的驚訝(surprise)程度，例如 1 組數據平常數值都是 1 或 2，但是某一天卻異常出現 99 時，我們就會感到驚訝），當越多令人驚訝的情況出現，整體的不確定性/混亂程度就會提高。
以下為用 Python 實作 Shannon Entropy 的程式碼範例：
import math
from collections import Counter
def shannon_entropy(s):
counter = Counter()
for c in s:
counter[c] +=1
total = sum(counter.values())
entropy = 0.0
for k, v in counter.items():
entropy -= (v / total) * math.log2(v / total)
return entropy
當然，也可以用 scipy 所提供的 entropy 函式實作，只是我們必須把每個元素的機率事先計算好：
from collections import Counter
from scipy.stats import entropy
def shannon_entropy(s):
counter = Counter()
for c in s:
counter[c] +=1
total = sum(counter.values())
return entropy([v / total for v in counter.values()], base=2)
熵值的應用
熵值可用以監測數據變動的情況，譬如熵值突然變很高或變很低時，多半代表數據有狀況發生（但不一定代表異常），此時就可對該數據組進行查驗。
資訊安全相關研究也會以熵值判斷可執行檔(executable)是否被加密/加殼(Executable compressors 或稱 software packers)，其原理在於經過加密或加殼的程式，其熵值通常比一般程式高。
此外，熵值也可用以評估決策樹(decision tree)的建構，其原理在於資料經過分類節點後，分類的結果如果越混亂越不明確，其熵值將會越高，就代表分類效果不好，所以我們可以透過熵值衡量分類節點的效用，效用如果不好，可以進行更換或者移除，如有興趣詳見 Information gain in decision trees 。
除了上述提到的應用之外，熵也有其他的實際應用，有興趣的人可以透過 Google 大神進行更多深入研究。
以上！