用白話文談數學公式 - 期望值(Expected value)

Posted on  Mar 25, 2023  in  數學概念  by  Amo Chen  ‐ 3 min read

一直以來都覺得「期望值」這個詞很困惑,期望值到底是誰的期望?為什麼期望會有值?相當謎啊⋯⋯。

後來讀了一些文件之後,就比較了解期望值的意義是什麼,所以特別用比較白話的方式寫成一篇文章。

期望值的公式

期望值通常用 E(X) 表示,其中 X 是一個隨機變量(random vairable)。

在一個離散型隨機變量中,期望值可以通過以下公式計算:

E(X) = ∑[Xi * P(Xi)]

其中 Xi 是隨機變量可能抽到的值,P(Xi)是該值發生的機率。按照公式期望值是所有隨機變量的值與其發生機率相乘後的總和。

拿硬幣正反面為例,假設丟硬幣人頭面朝上值為 0, 反之則為 1, 那麼 Xi 其實就只有 X0X1 兩種情況,這 2 種情況的機率各為 50%, 也就是 P(X0)P(X1) 都是 0.5 。

所以,每次丟硬幣的期望值為 0.5, 其計算過程如下:

E(X)
= 1 * P(X1) + 0 * P(X0)
= 1 * 1/2 + 0 * 1/2
= 1/2

對我而言,這個期望值 0.5 到底是什麼意思,是最為困惑的事情。

但只要再舉個例子,就可以更清楚什麼是期望值。

舉個例子,想像你是莊家

同樣繼續延伸丟硬幣的話題,只是這次你是莊家,當賭徒丟到錢幣面朝上時,你得給賭徒 1 塊錢獎金。

但是賠本生意沒人要做,我們得訂出參加費才行,可是多少的參加費才不能賠本?

最好情況下,當然是賭徒一直丟到人頭面,所以我們可以一直拿到參加費,不用給出任何獎金。

最差情況下,是賭徒一次就丟到錢幣面,所以我們得給出 1 塊錢獎金,所以參加費至少要 1 塊錢才能不虧本,但是賭徒也不是笨蛋,我們收 1 塊錢以上的參加費就沒有任何誘因可以吸引賭徒加入賭局。

所以我們用平均的方式把獎金的成本也攤到賭徒沒丟中的事件上,也是假設賭徒至少有1 次會沒丟中,因此 1 塊錢除以 2 種情況,得出我們可以把參加費用設定為至少 0.5, 如此一來就是在最好與最壞情況之間有個折衷,同時也有誘因吸引賭徒。

所以期望值考慮的就是平均情況之下(排除最好與最壞情況),我們做一件事情要設定的成本或者預期的獲利。

也因此期望值才是用各種可能的值乘以發生機率做總和。

舉個例子,想像你是賭徒

同樣繼續延伸丟硬幣的話題,只是這次你是賭徒。

對賭徒而言,需要理性判斷要不要參加賭局,才能夠避免損失。

我們已經知道丟硬幣期望值為 0.5, 就是你參加 1 次賭局的預期獲利,如果莊家規定參加費用為 0.8 塊,那麼你的預期獲利 0.5 扣掉 0.8 為 -0.3 。

這代表參加賭局對賭徒而言不划算,因為扣掉參加費用,一開始就已經預期要輸 0.3 塊給莊家了,所以最好別參加賭局。

所以考慮成本與期望值之後,也能夠提供我們較客觀的決策,決定是否要執行一件事。

骰子期望值

會算硬幣期望值之後,應該就會計算骰子的期望值了:

E(X)
= 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
= 3.5

這代表長期一直丟骰子的話,我們應該會得到接近 3.5 的點數平均值。

應用場景

期望值在統計學和機率論中有廣泛的應用,例如在博弈、金融等領域。

在賭博中,期望值可以用來計算賭徒的預期收益和損失,幫助他們做出更明智的決策。

在金融中,期望值可以用來計算股票、債券等金融產品的預期收益率,並且是許多金融衍生品定價的基礎。

總結來說,期望值是統計學中一個重要的概念,可以用來描述一個隨機變量的平均值,是一個很簡單卻又很實用的概念。

References

期望值 - 維基百科,自由的百科全書

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