一直以來都覺得「期望值」這個詞很困惑，期望值到底是誰的期望？為什麼期望會有值？相當謎啊⋯⋯。
後來讀了一些文件之後，就比較了解期望值的意義是什麼，所以特別用比較白話的方式寫成一篇文章。
期望值的公式
期望值通常用 E(X) 表示，其中 X 是一個隨機變量(random vairable)。
在一個離散型隨機變量中，期望值可以通過以下公式計算：
E(X) = ∑[Xi * P(Xi)]
其中 Xi 是隨機變量可能抽到的值，P(Xi)是該值發生的機率。按照公式期望值是所有隨機變量的值與其發生機率相乘後的總和。
拿硬幣正反面為例，假設丟硬幣人頭面朝上值為 0, 反之則為 1, 那麼 Xi 其實就只有 X0 與 X1 兩種情況，這 2 種情況的機率各為 50%, 也就是 P(X0) 與 P(X1) 都是 0.5 。
所以，每次丟硬幣的期望值為 0.5, 其計算過程如下：
E(X)
= 1 * P(X1) + 0 * P(X0)
= 1 * 1/2 + 0 * 1/2
= 1/2
對我而言，這個期望值 0.5 到底是什麼意思，是最為困惑的事情。
但只要再舉個例子，就可以更清楚什麼是期望值。
舉個例子，想像你是莊家
同樣繼續延伸丟硬幣的話題，只是這次你是莊家，當賭徒丟到錢幣面朝上時，你得給賭徒 1 塊錢獎金。
但是賠本生意沒人要做，我們得訂出參加費才行，可是多少的參加費才不能賠本？
最好情況下，當然是賭徒一直丟到人頭面，所以我們可以一直拿到參加費，不用給出任何獎金。
最差情況下，是賭徒一次就丟到錢幣面，所以我們得給出 1 塊錢獎金，所以參加費至少要 1 塊錢才能不虧本，但是賭徒也不是笨蛋，我們收 1 塊錢以上的參加費就沒有任何誘因可以吸引賭徒加入賭局。
所以我們用平均的方式把獎金的成本也攤到賭徒沒丟中的事件上，也是假設賭徒至少有1 次會沒丟中，因此 1 塊錢除以 2 種情況，得出我們可以把參加費用設定為至少 0.5, 如此一來就是在最好與最壞情況之間有個折衷，同時也有誘因吸引賭徒。
所以期望值考慮的就是平均情況之下（排除最好與最壞情況），我們做一件事情要設定的成本或者預期的獲利。
也因此期望值才是用各種可能的值乘以發生機率做總和。
舉個例子，想像你是賭徒
同樣繼續延伸丟硬幣的話題，只是這次你是賭徒。
對賭徒而言，需要理性判斷要不要參加賭局，才能夠避免損失。
我們已經知道丟硬幣期望值為 0.5, 就是你參加 1 次賭局的預期獲利，如果莊家規定參加費用為 0.8 塊，那麼你的預期獲利 0.5 扣掉 0.8 為 -0.3 。
這代表參加賭局對賭徒而言不划算，因為扣掉參加費用，一開始就已經預期要輸 0.3 塊給莊家了，所以最好別參加賭局。
所以考慮成本與期望值之後，也能夠提供我們較客觀的決策，決定是否要執行一件事。
骰子期望值
會算硬幣期望值之後，應該就會計算骰子的期望值了：
E(X)
= 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
= 3.5
這代表長期一直丟骰子的話，我們應該會得到接近 3.5 的點數平均值。
應用場景
期望值在統計學和機率論中有廣泛的應用，例如在博弈、金融等領域。
在賭博中，期望值可以用來計算賭徒的預期收益和損失，幫助他們做出更明智的決策。
在金融中，期望值可以用來計算股票、債券等金融產品的預期收益率，並且是許多金融衍生品定價的基礎。
總結來說，期望值是統計學中一個重要的概念，可以用來描述一個隨機變量的平均值，是一個很簡單卻又很實用的概念。
